Berättelsen

The Pythagorean Theorem: The Way of Truth

The Pythagorean Theorem: The Way of Truth



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Pythagoras (569-475 f.Kr.) är erkänd som världens första matematiker. Han föddes på ön Samos och tänkte studera med Thales och Anaximander (erkänd som de första västerländska filosoferna). Pythagoras trodde att siffror inte bara var vägen till sanningen, utan själva sanningen. Genom matematik kunde man uppnå harmoni och leva ett enklare liv. Han sägs ha föreslagit ett antal matematiska satser för detta ändamål men av alla dessa återstår bara den berömda Pythagorasatsen (Allen, 1966).

Historikern Robinson skriver: "Påståendet att` `Pythagoras arbetade mycket hårt på den aritmetiska sidan av geometri '' styrks vidare av traditionen att han undersökte det aritmetiska problemet med att hitta trianglar med fyrkanten på ena sidan lika med summan av rutorna på de andra två ”och gjorde det tidigt genom att använda stenar i rader för att förstå de sanningar han försökte förmedla (1968). Pythagoras sats säger att a² + b² = c². Detta används när vi får en triangel där vi bara känner till längden på två av de tre sidorna. C är den längsta sidan av vinkeln som kallas hypotenusen. Om a är den intilliggande vinkeln är b den motsatta sidan. Om b är den intilliggande vinkeln är a den motsatta sidan. Om a = 3 och b = 4 kan vi sedan lösa för c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Detta är en av de främsta användningsområdena för Pythagoras sats.

Det finns många bevis på Pythagoras sats, det mest kända är Euklides bevis från bok I av hans Element.

Proposition: I rätvinkliga trianglar är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på benen.

Euklid började med en pythagoreansk konfiguration och drog sedan en linje genom ett diagram som illustrerade områdenas likheter. Han drog slutsatsen att AB/AC = AC/HA, därför (AC) ² = (HA) (AB). Eftersom AB = AJ motsvarar arean av rektangeln HAJG arean på kvadraten på sidan AC. På samma sätt skrivs AB/BC = BC/BH också som (BC) ² = (BH) (AB) = (BH) (BD) och eftersom AB = BD. Således ser vi att summan av rektanglarnas ytor är kvadratens area på hypotenusen. Med Stephanie Morris ord, "Detta kompletterar beviset" (Morris, 2011).

Ett annat bevis, som är lättare för människor att förstå, börjar med en rektangel uppdelad i tre trianglar, alla med rät vinkel.

Triangel BEA och triangel BCE överlappar triangel ACD. Genom att jämföra triangel BCE och triangel ACD och titta på motsvarande sidor ser vi att AC/BC = AD/EC. Eftersom AD = BC, AC/AD = AD/EC. Genom multiplikation återges denna ekvation (AD) ² = (AC) (AE). Från trianglarna ABC och ABE, noterar att AB = CD, jämför de rätta vinklarna för dessa två figurer gör vi ekvationen AC/AB = CD/AE. Från den ursprungliga rektangelformen hade vi AB = CD också angivet som AC/CD = CD/AE, vilket skrivs som ett multiplikationsproblem som (CD) ² = (AC) (AE) och genom att lägga till ekvationerna vi har hittills, vi får två nya formler som är (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE) + (AC) (EC) och (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE + EC). Eftersom AC = AE + EC erhåller vi (CD) ² + (AD) ² = (AC) ². Som med det tidigare beviset visar detta giltigheten av Pythagoras sats (Morris, 2011).

I Pythagoras sats är varje sida/vinkel en kritisk information som hjälper oss att bestämma andra vinklar/sidor. Pythagoras trodde på en objektiv sanning som var tal. Pythagoras sats gör det möjligt för sanningar att bli kända genom de matematiska ekvationerna ovan vilket innebär att det finns en objektiv sanning, utanför alla personliga åsikter, som faktiskt kan bevisas; och detta är slutligen vad Pythagoras ville bevisa genom sitt arbete.

Kärlekshistoria?

Registrera dig för vårt gratis veckovisa nyhetsbrev!


The Pythagorean Theorem: The Way of Truth - History

Denna uppsats var inspirerad av en klass som jag går det här kvartalet. Klassen är matematikens historia. I den här klassen lär vi oss att inkludera matematikens historia i matematikundervisningen. Ett sätt att inkludera matematikens historia i ditt klassrum är att införliva gamla matematiska problem i din undervisning. Ett annat sätt är att introducera ett nytt ämne med lite historia av ämnet. Förhoppningsvis ger denna uppsats dig några idéer om hur du kan inkludera historien om Pythagoras sats i undervisningen och inlärningen av den.

Vi har diskuterat olika ämnen som utvecklats i gamla civilisationer. Pythagoras sats är ett av dessa ämnen. Denna sats är en av de tidigaste kända satserna till antika civilisationer. Det fick sitt namn efter Pythagoras, en grekisk matematiker och filosof. Satsen bär hans namn även om vi har bevis på att babylonierna kände till detta förhållande cirka 1000 år tidigare. Plimpton 322, en babylonisk matematisk tablett daterad till 1900 f.Kr., innehåller en tabell med pythagoras tripplar. Chou-pei, en uråldrig kinesisk text, ger oss också bevis på att kineserna visste om Pythagoras sats många år innan Pythagoras eller en av hans kollegor i det pythagoreiska samhället upptäckte och bevisade det. Detta är anledningen till att satsen är uppkallad efter Pythagoras.

Pythagoras levde under det sjätte eller femte århundradet f.Kr. Han grundade Pythagorean School i Crotona. Denna skola var en akademi för studier av matematik, filosofi och naturvetenskap. The Pythagorean School var mer än en skola det var & kvot tätt sammanbrödraskap med hemliga ritualer och observationer & quot (Eves 75). På grund av detta förstördes skolan av Italiens demokratiska krafter. Även om broderskapet var spritt, fortsatte det att existera i ytterligare två århundraden. Pythagoras och hans kollegor krediteras med många bidrag till matematik.

Följande är en undersökning av hur Pythagoras sats har bevisats genom åren.

& quot Kvadraten på hypotenusan i en höger triangel är lika med summan av rutorna på de två benen & quot (Eves 80-81).


Denna sats talar om området för rutorna som är byggda på varje sida av den högra triangeln.

Följaktligen får vi följande områden för rutorna, där de gröna och blå rutorna är på benen i den högra triangeln och den röda rutan på hypotenusen.

område på det gröna torget är
område på den blå rutan är
område på den röda rutan är

Från vår sats har vi följande relation:

område med grön kvadrat + yta av blå kvadrat = yta av röd kvadrat eller

Som jag nämnde tidigare var denna sats uppkallad efter Pythagoras eftersom han var den första som bevisade det. Han använde förmodligen en dissektionstyp som liknar följande för att bevisa denna sats.

& quot Låt a, b, c beteckna benen och hypotenusan i den givna högra triangeln och betrakta de två rutorna i den medföljande figuren, var och en med a+b som sin sida. Den första rutan dissekeras i sex bitar-nämligen de två rutorna på benen och fyra högra trianglar som är kongruenta med den givna triangeln. Den andra rutan dissekeras i fem bitar-nämligen kvadraten på hypotenusen och fyra rätt trianglar som är kongruenta med den givna triangeln. Genom att subtrahera lika från lika, följer det nu att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på benen & quot (Eves 81).

Tänk på följande figur.

Arean på den första rutan ges av (a+ b)^2 eller 4 (1/2ab)+ a^2+ b^2.
Arean på den andra rutan ges av (a + b)^2 eller 4 (1/2ab) + c^2.
Eftersom rutorna har lika ytor kan vi sätta dem lika med en annan och subtrahera lika. Fallet (a+b)^2 = (a+b)^2 är inte intressant. Låt oss göra det andra fallet.
4 (1/2ab) + a^2 + b^2 = 4 (1/2ab) + c^2
Subtrahera lika med båda sidor vi har

avslutande Pythagoras bevis.
Under åren har det funnits många matematiker och icke-matematiker som har gett olika bevis på Pythagoras sats. Här följer bevis från Bhaskara och en av våra tidigare presidenter, president James Garfield. Jag har valt dessa bevis eftersom något av dem skulle vara lämpligt att använda i alla klassrum.

Bhaskaras första bevis

Bhaskaras bevis är också ett dissektionsbevis. Det liknar beviset från Pythagoras. Bhaskara föddes i Indien. Han var en av de viktigaste hinduiska matematikerna under det andra århundradet e.Kr. Han använde följande diagram för att bevisa Pythagoras sats.

I diagrammen ovan är de blå trianglarna alla kongruenta och de gula rutorna är kongruenta. Först måste vi hitta området på det stora torget på två olika sätt. Låt oss först hitta området med areaformeln för en kvadrat.
Således är A = c^2.
Nu kan vi hitta området genom att hitta området för var och en av komponenterna och sedan summera områdena.
Arean av de blå trianglarna = 4 (1/2) ab
Arean på den gula rutan = (b-a)^2
Arean på den stora rutan = 4 (1/2) ab + (b-a)^2
= 2ab + b^2 - 2ab + a^2
= b^2 + a^2

Sedan har torget samma yta oavsett hur du hittar det
A = c^2 = a^2 + b^2,
avsluta beviset.


Bhaskaras andra bevis på Pythagoras sats

I detta bevis började Bhaskara med en rätt triangel och sedan drog han en höjd över hypotenusen. Härifrån använde han egenskaperna för likhet för att bevisa satsen.

Bevisa nu att trianglarna ABC och CBE liknar varandra.
Det följer av AA -postulatet att triangel ABC liknar triangel CBE, eftersom vinkel B är kongruent med vinkel B och vinkel C är kongruent med vinkel E. Alltså, eftersom interna förhållanden är lika med s/a = a/c.
Multiplicera båda sidor med ac får vi
sc = a^2.

Visa nu att trianglarna ABC och ACE liknar varandra.
Som tidigare följer det av AA -postulatet att dessa två trianglar är lika. Vinkel A är kongruent med vinkel A och vinkel C är kongruent med vinkel E. Sålunda är r/b = b/c. Multiplicera båda sidor med bc får vi
rc = b^2.

Nu när vi lägger till de två resultaten vi får
sc + rc = a^2 + b^2.
c (s + r) = a^2 + b^2
c^2 = a^2 + b^2,
avsluta beviset för Pythagoras sats.

Garfields bevis

USA: s tjugonde president gav följande bevis till Pythagoras sats. Han upptäckte detta bevis fem år innan han blev president. Han träffade detta bevis 1876 under en matematikdiskussion med några av kongressmedlemmarna. Det publicerades senare i New England Journal of Education .. Beviset beror på att beräkna ytan på en höger trapetsform på två olika sätt. Det första sättet är att använda ytformeln för en trapets och det andra är genom att summera områdena i de tre högra trianglarna som kan konstrueras i trapetsformen. Han använde följande trapets för att utveckla sitt bevis.

Först måste vi hitta trapezoidens area genom att använda trapezoidens areaformel.
A = (1/2) h (b1+b2) område av en trapets

I diagrammet ovan är h = a+b, b1 = a och b2 = b.

Låt oss nu hitta området för trapetsformen genom att summera området för de tre högra trianglarna.
Arean på den gula triangeln är
A = 1/2 (ba).

Arean i den röda triangeln är
A = 1/2 (c^2).

Arean på den blå triangeln är
A = 1/2 (ab).

Summan av trianglarnas yta är
1/2 (ba) + 1/2 (c^2) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c^2 + ab) = 1/2 (2ab + c^2).

Eftersom detta område är lika med trapetsformat område har vi följande relation:
(1/2) (a^2 + 2ab + b^2) = (1/2) (2ab + c^2).


Pythagoras sats

Varför skiljer sig matematiken (på ett bra sätt) från alla andra ämnen du lärt dig i skolan?

Två ord: Pythagoras sats.

Låt mig förklara. Pythagoras sats i sig är egentligen inte anledningen till att matematik är unik, det är bara ett exempel jag vill använda för att illustrera min poäng. Jag valde detta teorem som ett exempel eftersom det har varit min erfarenhet att det är en av få saker alla kommer ihåg från matematikleken, oavsett hur mycket de trivdes i matematik eller hur bra de gjorde under kursen. Men bara om P.T. glömde dig, här är en sammanfattning:

För vilken rätt triangel som helst är kvadraten på hypotenusan (sidan motsatt den rätta (90 graders) vinkeln) lika med summan av kvadraten på de andra två sidorna.

Detta resultat tillskrivs den grekiska matematikern och filosofen Pythagoras (därav det kreativa namnet på satsen). Pythagoras levde mellan 500- och 600 -talet f.Kr. och medan han i slutändan är den som krediteras för att bevisa satsen, finns det bevis för att resultatet av satsen var känt för babylonierna 1000 år innan Pythagoras föddes. Lägg märke till denna gamla surfplatta:

Wow, det är gammalt. Här kan du läsa mer om babylonierna och Pythagoras sats.

Min poäng är att i vilken annan klass utför du samma operationer som människor utförde för 3000 år sedan? Visst i historielektionen lär du dig om tidigare civilisationer, men du lärs inte hur do historia på samma sätt som dessa civilisationer. Precisionen som modern historia kräver var i stort sett okänd för de gamla människorna. Kanske läser du Homeros litteratur i litteraturen Iliad och Odyssey, men återigen lär du dig inte att skriva i samma stil som episk poesi.

Så varför är det så att vi i matteklassen har gjort framsteg och tekniken verkligen kommit långt, men det är fortfarande fördelaktigt att utföra beräkningar på det sätt de utfördes för tusentals år sedan?

Mitt svar: det finns inget att perfekta, inget du kan förbättra när du stöter på sanning. Verklig sanning.

För oss alla som har den kristna tron ​​att Gud är sanning, är allt som är sant ett faktum om Gud, och matematik är en gren av teologin.

"Huvudsyftet med alla undersökningar av omvärlden borde vara att upptäcka den rationella ordning och harmoni som har påtvingats den av Gud och som han uppenbarade för oss på matematikens språk."


Pythagoras sats i babylonisk matematik

I denna artikel undersöker vi fyra babyloniska tabletter som alla har ett samband med Pythagoras sats. Visst var babylonierna bekanta med Pythagoras sats. En översättning av en babylonisk tablett som finns bevarad i det brittiska museet går enligt följande:-

Alla tabletter som vi vill titta närmare på kommer från ungefär samma period, nämligen det gamla babyloniska riket som blomstrade i Mesopotamien mellan 1900 BC och 1600 BC.


Här är en karta över regionen där den babyloniska civilisationen blomstrade.


Artikeln babylonisk matematik ger lite bakgrund till hur civilisationen kom till och den matematiska bakgrund som de ärvde.

De fyra tabletter som intresserar oss här kommer vi att kalla Yale -surfplattan YBC 7289, Plimpton 322 (visas nedan), Susa -tabletten och Tell Dhibayi -tabletten. Låt oss säga lite om dessa tabletter innan vi beskriver matematiken som de innehåller.

Yale -surfplattan YBC 7289 som vi beskriver är en av en stor samling tabletter som finns i Yale Babylonian -samlingen vid Yale University. Den består av en surfplatta där ett diagram visas. Diagrammet är en kvadrat på sidan 30 med diagonalerna inritade. Tabletten och dess betydelse diskuterades först i [5] och nyligen i [18].


Plimpton 322 är surfplattan numrerad 322 i samlingen av G A Plimpton som ligger i Columbia University.


Du kan se på bilden att det övre vänstra hörnet på surfplattan är skadat eftersom det finns ett stort chip ur surfplattan runt mitten av höger sida. Dess datum är inte känt exakt men det anges mellan 1800 och 1650 f.Kr. Det anses bara vara en del av en större surfplatta, vars återstående har förstörts, och först trodde man, som många sådana tabletter, är ett rekord av kommersiella transaktioner. Men i [5] gav Neugebauer och Sachs en ny tolkning och sedan dess har det varit föremål för ett stort intresse.

Susa -surfplattan upptäcktes i den nuvarande staden Shush i Khuzistan -regionen i Iran. Staden ligger cirka 350 km från den antika staden Babylon. W K Loftus identifierade detta som en viktig arkeologisk plats redan 1850 men utgrävningar utfördes inte förrän mycket senare. Den specifika tabletten som intresserar oss här undersöker hur man beräknar radien för en cirkel genom hörnen i en likbent triangel.

Slutligen var Tell Dhibayi -tabletten en av cirka 500 tabletter som hittades nära Bagdad av arkeologer 1962. De flesta avser administrationen av en gammal stad som blomstrade under Ibalpiel II i Eshunna och är från omkring 1750. Den specifika surfplattan som berör oss är inte en relaterad till administration utan en som presenterar ett geometriskt problem som ber om dimensionerna på en rektangel vars yta och diagonal är kända.

Innan vi tittar på matematiken i dessa fyra tabletter bör vi säga lite om deras betydelse för att förstå omfattningen av babylonisk matematik. För det första bör vi vara försiktiga så att vi inte läser in tidiga matematikidéer som vi kan se tydligt idag men som aldrig fanns i författarens sinne. Omvänt måste vi vara försiktiga med att inte underskatta matematikens betydelse bara för att den har tagits fram av matematiker som tänkte mycket annorlunda än dagens matematiker. Som en sista kommentar om vad dessa fyra tabletter berättar om babylonisk matematik måste vi vara försiktiga att inse att nästan alla matematiska prestationer för babylonierna, även om de alla spelades in på lertavlor, kommer att ha gått förlorade och även om dessa fyra kan ses som särskilt viktigt bland dem som överlever de kanske inte representerar det bästa inom babylonisk matematik.

Det finns inga problem att förstå vad Yale -surfplattan YBC 7289 handlar om.


Här är en Diagram över Yale -surfplattan


Den har ett diagram över en kvadrat med 30 på ena sidan, diagonalerna är ritade in och nära mitten är skriven 1, 24, 51, 10 och 42, 25, 35. Naturligtvis skrivs dessa siffror med babyloniska siffror till bas 60. Se vår artikel om babyloniska siffror. Nu är de babyloniska talen alltid tvetydiga och det finns ingen indikation på var heltalet slutar och bråkdelen börjar. Om vi ​​antar att det första talet är 1 24, 51, 10 och sedan konverterar detta till en decimal ger 1. 414212963 medan √ 2 = 1. 414213562. Beräkning av 30 × [1 24, 51, 10] ger 42 25, 35 vilket är det andra talet. Diagonalen på en kvadrat på sidan 30 hittas genom att multiplicera 30 med approximationen till √ 2.

Detta visar en bra förståelse för Pythagoras sats.Men ännu viktigare är frågan hur babylonierna fann denna anmärkningsvärt goda approximation till √ 2. Flera författare, till exempel se [2] och [4], antar att babylonierna använde en metod som motsvarar Herons metod. Förslaget är att de började med en gissning, säg x x x. De hittade sedan e = x 2- 2 e = x^ <2>- 2 e = x 2- 2 vilket är felet. Sedan

Detta är verkligen möjligt och babyloniernas förståelse av kvadratik tillför påståendet viss tyngd. Det finns dock inga bevis för att algoritmen används i andra fall och dess användning här får inte förbli mer än en ganska avlägsen möjlighet. Får jag [EFR] föreslå ett alternativ. Babylonierna producerade tabeller med rutor, i själva verket var hela deras förståelse av multiplikation byggd runt rutor, så kanske ett mer uppenbart tillvägagångssätt för dem hade varit att göra två gissningar, en hög och en låg säga a a och b b b. Ta deras genomsnittliga a + b 2 Large frac 2 2 a + b och kvadrera den. Om rutan är större än 2 ersätt sedan b b b med denna bättre gräns, medan om kvadraten är mindre än 2 ersätt sedan a a med a + b 2 Large frac 2 2 a + b. Fortsätt med algoritmen.

Nu tar det säkert många fler steg för att nå den sexagesimala approximationen 1 24, 51, 10. I själva verket börjar med a = 1 a = 1 a = 1 och b = 2 b = 2 b = 2 det tar 19 steg som tabellen nedan visar: Babylonierna var dock inte rädda för beräkning och de kan ha varit beredda att fortsätta denna enkla beräkning tills svaret var korrekt till den tredje sexagesimala platsen.


Nästa tittar vi på igen Plimpton 322


Surfplattan har fyra kolumner med 15 rader. Den sista kolumnen är den enklaste att förstå eftersom den ger radnumret och innehåller sålunda 1, 2, 3,. , 15. Det anmärkningsvärda faktum som Neugebauer och Sachs påpekade i [5] är att i varje rad är kvadraten i talet c c c i kolumn 3 minus kvadraten för talet b b b i kolumn 2 en perfekt kvadrat, säg h h h.

Så tabellen är en lista över Pythagoras heltalstrippel. Nu är detta inte riktigt sant eftersom Neugebauer och Sachs tror att skrivaren gjort fyra transkriptionsfel, två i varje kolumn och denna tolkning krävs för att få regeln att fungera. Felen ses lätt som äkta fel, men till exempel 8, 1 har kopierats av skrivaren som 9, 1.

Flera historiker (se till exempel [2]) har föreslagit att kolumn 1 är kopplad till sekantfunktionen. Men som Joseph kommenterar [4]:-

Zeeman har gjort en fascinerande observation. Han har påpekat att om babylonierna använde formlerna h = 2 mn, b = m 2-n 2, c = m 2 + n 2 h = 2mn, b = m^<2> -n^<2>, c = m^ <2> + n^ <2> h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 för att generera Pythagoras tripplar då finns det exakt 16 tripplar som uppfyller n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 6 0, 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 ° och tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 tan^<2> t = h ^ <2> / b^ <2> tan 2 t = h 2 / b 2 som har en begränsad sexagesimal expansion (vilket motsvarar m, n, bm, n, bm, n, b som har 2, 3 och 5 som deras enda främsta delare). Nu visas 15 av de 16 pytagoreiska tripplarna som uppfyller Zeemans villkor i Plimpton 322. Är det det tidigaste kända matematiska klassificeringssatsen? Även om jag inte kan tro att Zeeman har det helt rätt, så känner jag att hans förklaring måste vara på rätt väg.

För att ge en rättvis diskussion om Plimpton 322 bör vi tillägga att inte alla historiker är överens om att denna tablett gäller pytagoreiska tripplar. Exarchakos, i [17], hävdar till exempel att surfplattan är ansluten till lösningen av kvadratiska ekvationer och inte har något att göra med pytagoreiska tripplar:-

Susa -tabletten beskriver ett problem om en likbent triangel med sidorna 50, 50 och 60. Problemet är att hitta cirkelns radie genom de tre hörnen.


Pythagoras ' Other Theorem: A Short History of Vegetarianism

Nyligen intervjuade Linda Pellacio i sitt veckovisa Heritage Radio Network -program "A Taste of the Past" Rynn Berry, författare och historisk rådgivare till North American Vegetarian Society.

Berry har varit vegetarian sedan han som tonåring fick veta att djur upplever ångest före slakt. Hans vegetarism har sedan dess utvecklats till en vegansk livsstil, vilket innebär att han utesluter alla animaliska produkter, inklusive honung, inte bara från hans kost utan också från hans kläder.

Med Pellacio diskuterade Berry vegetarismens bana, som har varit en dokumenterad del av historien sedan 600 -talet f.Kr. Enligt Berry grundades det första vegetariska samhället av den antika grekiska matematikern Pythagoras (en nyckelspelare i nionde klassens geometri). Inte bara avmystifierade Pythagoras trianglar, han spred också Buddhas evangelium, en samtida av Pythagoras som inspirerade honom personligen att utöva icke-våldsam vegetarianism. För Pythagoras, att avstå från kött var förankrat i hans andliga värden näring skulle inte bli en faktor i kosten förrän mycket senare i historien. I själva verket kallades en diet som inte innehåller några animaliska produkter faktiskt en "pythagoreansk" diet fram till 1944, då Donald Watson, grundare av Vegan Society, myntade ordet vegan. Vegetarianism dokumenterades första gången 1848, troligen av en Oxford Scholar.

Berry har skrivit flera böcker om vegetarianism, inklusive Kända vegetarianer. Bland anmärkningsvärda köttavhållare kan nämnas Benjamin Franklin, som Berry beskrev som "den enda grundande fadern som hade ett slag med vegetarianism", liksom George Bernard Shaw, som berömt fick höra av ett team av läkare att han behövde äta kött eller svälta. Han svälte inte bara, han levde fram till 94 års ålder.

Andra vegetarianer från 1800 -talet har fått arvet från sina namn in i dagens livsmedelslexikon. John Harvey Kellogg, en sjunde-dags adventist och uppfinnaren av majsflingor, skapade spannmålen som ett alternativt köttfritt frukostalternativ. Sylvester Graham, en presbyteriansk minister som predikade för nykterhet, fullkorn och vegetariska dieter, skapade en knäcke som han trodde var en näringsmässigt överlägsen produkt. S'mores -entusiaster kan vara säkra på att den moderna versionen av den älskade lägerelden, graham -krackan, har liten likhet med den ursprungliga prototypen.

Vegetarismens bana är särskilt intressant, särskilt i Amerika, där historien har registrerat sin renässans vid flera tillfällen. De tidiga vegetarianer som jag har nämnt i den här artikeln inspirerades alla av sina respektive religioner att hålla fast vid en köttfri kost. Deras mål kan ha varierat, men den gemensamma drivkraften var en andlig känsla av tydlighet som man trodde uppnåddes genom att äta en kost utan kött. Det var inte förrän på 1900 -talet som Amerika anammade vegetarianismen på ett sekulärt sätt. Baby-boomer-generationen, anförd av 60-talets våld och nedsatt av hot om överhängande ekologiska katastrofer, omfattade till stor del en kost inspirerad av ekologi och en önskan att komma närmare jorden. När Frances Moore Lappés ikoniska bok, Kost för en liten planet (1971), publicerades, hade vegetarianismen hittat in i USA: s kollektiva medvetande.

Idag ser vi en vegetarisk redux. Å ena sidan dyrkes näring i samhället och en köttfri kost har blivit en acceptabel ingång till en hälsosam livsstil. Även extrema versioner av vegetarianism, som veganism och raw-food-dieter, har börjat kasta ut sitt stigma. William Jefferson Clinton, som inte var en grundande pappa utan är en älskad före detta president, har uttalat sig om hans drastiska övergång från en snabbmatskost till en strikt vegan. Rynn Berry skulle hänvisa till Clinton som en "koronar vegetarian", någon som flyttar till en växtbaserad kost på rekommendation av sin läkare efter att ha fått en hjärtinfarkt eller ett större ingrepp. Möjligen inspirerat av sin tidigare president, eller kanske bara på den nuvarande trendvågen, har det amerikanska folket lyssnat på en mängd testamente från kändisar som svär vid sina nya köttfria dieter. Sällan är etik drivkraften, och den näringsfokuserade impulsen har skapat ett tvärsnitt av spelare på hörnet av "Jag vill ha mitt kött" och "Jag vill också må bra." Detta nya företag att vilja hålla sig frisk utan att offra smakbehov har inspirerat till rörelser som "Meatless Mondays", vilket uppmuntrar ett engagemang för att äta lägre i näringskedjan utan att behöva bli kall kalkon. Eller kall tofurkey, som fallet kan vara.

Den etiska hängivenheten till en grymhetsfri kost, kan vi se, har dämpats och populariserats genom en ny fokusförskjutning. Ja, vi bryr oss fortfarande om djur, men nu när vi vet att vi kan konsumera varelser som har levt ett hälsosamt och lyckligt liv, behöver vi inte längre betona att deras blod stannar kvar på våra händer. Det är viktigt att notera att bara fem procent av amerikanerna identifierar sig som vegetarianer och för majoriteten av befolkningen som är köttätare finns det andra sätt att påverka miljön och sin egen hälsa på ett kraftfullt och positivt sätt. Att driva på för mångfald i vår köttförsörjning och köpa endast hållbart uppfödda boskap är effektiva och viktiga val som köttätare bör överväga. Vegetarism i sig är komplicerat i sig, de djupa relationerna mellan boskaps- och mejeriindustrin skapar stor debatt när man väljer att utesluta kött från en kost men inte ost och mjölk. Oavsett vilka val du gör i din kost, ju mer prickarna är kopplade mellan hälsa, medkänsla och ekologi, desto mer närande blir din kost för ditt sinne och din kropp.

Lyssna på den ursprungliga intervjun mellan Linda Pellacio och Rynn Berry här.

För att lära dig mer om Rynn Berry och hans böcker om vegetarianism, klicka här.


The Pythagorean Theorem: The Way of Truth - History

Låt oss bygga upp rutor på sidorna av en rätt triangel. Pythagoras sats säger då att summan av (ytorna på) två små rutor är lika med (arean) den stora.

I algebraiska termer, a 2 + b 2 = c 2 var c är hypotenusen medan a och b är triangelns sidor.

Satsen är av grundläggande betydelse i den euklidiska geometrin där den fungerar som grund för definitionen av avstånd mellan två punkter. Det är så grundläggande och välkänt att, tror jag, alla som tog geometrilektioner på gymnasiet inte kunde missa att komma ihåg det långt efter att andra matematiska föreställningar blev riktigt glömda.

Jag planerar att presentera flera geometriska bevis på Pythagoras sats. En impuls för den här sidan gavs av en anmärkningsvärd Java -applet skriven av Jim Morey. Detta utgör det första beviset på denna sida. En av mina första Java -applets skrevs för att illustrera ett annat euklidiskt bevis. För närvarande finns det flera Java -illustrationer av olika bevis, men majoriteten har gjorts i vanlig HTML med enkla grafiska diagram.

Anmärkning

Uttalandet av satsen upptäcktes på en babylonisk tablett cirka 1900-1600 f.Kr. Oavsett om Pythagoras (c.560-c.480 f.Kr.) eller någon annan från hans skola var den första som upptäckte dess bevis kan inte påstås med någon grad av trovärdighet. Euklides (ca 300 f.Kr.) Element tillhandahålla den första och senare standardreferensen inom geometri. Jim Moreys applet följer Proposition I.47 (First Book, Proposition 47), min VI.31. Satsen är reversibel vilket innebär att en triangel vars sidor uppfyller en 2 +b 2 = c 2 är rätvinklad. Euklid var den första (I.48) som nämnde och bevisade detta faktum.

W. Dunham [Matematiskt universum] citerar en bok Pythagoras förslag av en tidig 1900 -tals professor Elisha Scott Loomis. Boken är en samling med 367 bevis på Pythagoras sats och har publicerats på nytt av NCTM 1968.

Pythagoras sats generaliserar till utrymmen med högre dimensioner. Några av generaliseringarna är långt ifrån uppenbara.

Larry Hoehn kom med en plangeneralisering som är relaterad till kosinuslagen men som ligger längre och ser snyggare ut.

Satsen vars formulering leder till begreppet euklidiskt avstånd och euklidiska och Hilbert -utrymmen spelar en viktig roll i matematiken som helhet. Jag började samla matematiska fakta vars bevis kan vara baserade på Pythagoras sats.

(EWD) tecken (a + b - g) = tecken (a 2 + b 2 - c 2),

där tecken (t) är signum -funktionen:

Satsen som den här sidan ägnas åt behandlas som "Om Dijkstra välförtjänt finner (EWD) mer symmetrisk och mer informativ. Frånvaron av transcendentala mängder (p) bedöms vara en ytterligare fördel.

Bevis nr 2

Vi börjar med två rutor med sidor a och bplaceras sida vid sida. Den totala ytan på de två rutorna är a 2 +b 2 .

Konstruktionen började inte med en triangel men nu ritar vi två av dem, båda med sidor a och b och hypotenusa c. Observera att segmentet som är gemensamt för de två rutorna har tagits bort. Vid denna tidpunkt har vi därför två trianglar och en konstig form.

Som ett sista steg roterar vi trianglarna 90 o, var och en runt dess övre topp. Den högra roteras medsols medan den vänstra triangeln vrids moturs. Uppenbarligen är den resulterande formen en kvadrat med sidan c och arean c 2 .

(En variant av detta bevis finns i ett existerande manuskript av Th & acircbit ibn Qurra som ligger i biblioteket i Aya Sofya Musium i Turkiet, registrerat under nummer 4832. [R. Shloming, Th & acircbit ibn Qurra och Pythagoras sats, matematiklärare 63 ( Oktober, 1970), 519-528]. Ibn Qurras diagram liknar det i bevis #27. Själva beviset börjar med att notera närvaron av fyra lika högra trianglar som omger en konstigt utseende form som i det nuvarande beviset #2. Dessa fyra trianglar motsvarar parvis start- och slutpositionen för de roterade trianglarna i det aktuella beviset. Samma konfiguration kan observeras i ett bevis genom tesselation.)

Bevis #3

Nu börjar vi med fyra kopior av samma triangel. Tre av dessa har roterats 90 o, 180 o respektive 270 o. Var och en har ett område ab/2. Låt oss sätta ihop dem utan ytterligare rotationer så att de bildar en kvadrat med sidan c.

Torget har ett fyrkantigt hål där sidan summerar sitt område och 2ab, arean av de fyra trianglarna (4 & middotab/2) får vi

Bevis #4

Det fjärde tillvägagångssättet börjar med samma fyra trianglar, förutom att de denna gång kombineras för att bilda en kvadrat med sidan (a+b) och ett hål med sidan c. Vi kan beräkna arean på det stora torget på två sätt. Således

(a + b) 2 = 4 & middotab/2 + c 2

förenkla vilket vi får den identitet som behövs.

Bevis #5

Detta bevis, upptäckt av president J.A. Garfield 1876 [Pappas], är en variant av den föregående. Men den här gången ritar vi inga rutor alls. Nyckeln nu är formeln för området för en trapezoid - halvsumman av baserna gånger höjden - (a+b)/2 & middot (a+b). Om man tittar på bilden på ett annat sätt kan detta också beräknas som summan av ytorna i de tre trianglarna - ab/2 + ab/2 + c& middotc/2. Som tidigare ger förenklingar a 2 +b 2 = c 2 .

Två kopior av samma trapezoid kan kombineras på två sätt genom att fästa dem längs den lutande sidan av trapetsformen. Den ena leder till bevis #4, den andra till bevis #52.

Bevis #6

Vi börjar med den ursprungliga triangeln, nu betecknad ABC, och behöver bara en ytterligare konstruktion - höjden AD. Trianglarna ABC, BDA och ADC är liknande vilket leder till två förhållanden:

AB/BC = BD/AB och AC/BC = DC/AC.

Skrivet på ett annat sätt som dessa blir

AB & middotAB = BD & middotBC och AC & middotAC = DC & middotBC

I en privat korrespondens har Dr. France Dacar, Ljubljana, Slovenien, föreslagit att diagrammet till höger kan tjäna två syften. Först ger det en ytterligare grafisk representation till det nuvarande beviset #6. Dessutom belyser det förhållandet mellan det senare och bevis #1.

Bevis #7

Nästa bevis är hämtat ordagrant från Euklid VI.31 i översättning av Sir Thomas L. Heath. Den store G. Polya analyserar det i sin induktion och analogi i matematik (II.5) som är en rekommenderad läsning för studenter och lärare i matematik.

I rätvinkliga trianglar är figuren på sidan som böjer den rätta vinkeln lika med de liknande och liknande beskrivna figurerna på sidorna som innehåller den rätta vinkeln.

Låt ABC vara en rätvinklig triangel med vinkeln BAC rätt Jag säger att siffran på BC är lika med de liknande och liknande beskrivna figurerna på BA, AC.

Låt AD ritas vinkelrätt. Sedan, i den rätvinkliga triangeln ABC, har AD dragits från den rätta vinkeln vid A vinkelrätt mot basen BC, trianglarna ABD, ADC som angränsar till vinkelrätt liknar både hela ABC och varandra [VI.8 ].

Och eftersom ABC liknar ABD, så som CB är för BA så är AB till BD [VI.Def.1].

Och eftersom tre raka linjer är proportionella, som den första är till den tredje, så är figuren på den första till den liknande och liknande beskrivna figuren på den andra [VI.19]. Därför, som CB är för BD, så är figuren på CB till den liknande och liknande beskrivna figuren på BA.

Av samma skäl också, som BC är för CD, så är siffran på BC till den på CA så att, liksom BC är för BD, DC, så är figuren på BC till liknande och liknande beskrivna figurer på BA, AC.

Men BC är lika med BD, DC därför är siffran på BC också lika med de liknande och liknande beskrivna figurerna på BA, AC.

Bekännelse

Jag fick en riktig uppskattning av detta bevis först efter att ha läst boken av Polya som jag nämnde ovan. Jag hoppas att en Java -applet hjälper dig att komma till botten med detta anmärkningsvärda bevis. Observera att påståendet som faktiskt bevisats är mycket mer allmänt än satsen som det är allmänt känt.

Bevis #8

När jag lekte med appleten som visar Euklides bevis (#7) har jag upptäckt en annan som, trots att den är ful, tjänar syftet ändå.

Således börjar vi med triangeln 1 och lägger till ytterligare tre på det sätt som föreslås i korrektur #7: liknande och liknande beskrivna trianglar 2, 3 och 4. Genom att härleda ett par förhållanden som gjordes i bevis #6 kommer vi fram till sidlängderna som visas på diagrammet. Nu är det möjligt att titta på den slutliga formen på två sätt:

  • som en förening av rektangeln (1+3+4) och triangeln 2, eller
  • som en förening av rektangeln (1+2) och två trianglar 3 och 4.

ab/c & middot (a 2 + b 2)/c + ab/2 = ab + (ab/c & middot a 2/c + ab/c & middot b 2/c)/2

ab/c & middot (a 2 +b 2)/c/2 = ab/2, eller (a 2 +b 2)/c 2 = 1

Anmärkning

I efterhand finns det ett enklare bevis. Titta på rektangeln (1+3+4). Dess långsida är å ena sidan vanlig c, medan det å andra sidan är en 2 /c+b 2 /c och vi har igen samma identitet.

Bevis #9

Ett annat bevis härrör från en omläggning av styva bitar, ungefär som bevis nr 2. Det gör den algebraiska delen av bevis #4 helt överflödig. Det finns inget mycket man kan tillföra till de två bilderna.

(Mitt uppriktiga tack går till Monty Phister för vänligt tillstånd att använda grafiken.)

Bevis #10

Detta och de tre nästa bevisen kom från [PWW].

Trianglarna i Proof #3 kan ordnas om på ännu ett sätt som gör den pythagorska identiteten uppenbar.

(Ett mer tydligt diagram till höger skickades vänligt till mig av Monty Phister.)

Bevis #11

Rita en cirkel med radie c och en höger triangel med sidorna a och b enligt bilden. I denna situation kan man tillämpa någon av några välkända fakta. Till exempel, i diagrammet bildar tre punkter F, G, H som ligger på cirkeln en annan högra triangel med höjden FK med längden a. Dess hypotenusa GH är uppdelad i förhållandet (c+b)/(c-b). Så, som i bevis #6, får vi en 2 = (c+b) (c -b) = c 2 - b 2.

Bevis #12

Detta bevis är en variant på #1, ett av de ursprungliga Euklides bevis. I delar 1,2 och 3 är de två små rutorna skjuvade mot varandra så att den totala skuggade ytan förblir oförändrad (och lika med en 2 +b 2.) I del 3, längden på den vertikala delen av den skuggade områdets gräns är exakt c eftersom de två kvarvarande trianglarna är kopior av den ursprungliga. Detta innebär att man kan glida ner i det skuggade området som i del 4. Härifrån följer Pythagoras sats enkelt.

(Detta bevis finns i H. Eves, I matematiska cirklar, MAA, 2002, s. 74-75)

Bevis #13

I diagrammet finns det flera liknande trianglar (abc, a'b'c ', a'x och b'y.) Vi har successivt

y/b = b '/c, x/a = a'/c, cy + cx = aa ' + bb'.

Och slutligen cc '= aa' + bb '. Det här är väldigt likt Proof #6 men resultatet är mer allmänt.

Bevis #14

Detta bevis av HE Dudeney (1917) börjar med att skära torget på större sidan i fyra delar som sedan kombineras med den mindre för att bilda torget byggt på hypotenusen.

Greg Frederickson från Purdue University, författaren till en verkligt upplysande bok, Dissektioner: Plane & Fancy (Cambridge University Press, 1997), påpekade den historiska felaktigheten:

Du tilldelade bevis #14 till H.E. Dudeney (1917), men det publicerades faktiskt tidigare (1873) av Henry Perigal, en börsmäklare i London. Ett annat dissektionsbevis dök upp mycket tidigare, som gavs av den arabiska matematikern/astronomen Thabit på tionde århundradet. Jag har inkluderat detaljer om dessa och andra dissektionsbevis (inklusive bevis för Cosinos lag) i min senaste bok "Dissections: Plane & Fancy", Cambridge University Press, 1997. Du kanske gillar bokens webbsida:

Bill Casselman från University of British Columbia sekunderar Gregs information. Min kom ifrån Bevis utan ord av R.B. Nelsen (MAA, 1993).

Bevis #15

Detta anmärkningsvärda bevis av K. O. Friedrichs är en generalisering av det föregående av Dudeney. Det är verkligen allmänt. Det är generellt i den meningen att en oändlig mängd specifika geometriska bevis kan härledas från det. (Roger Nelsen tillskriver [PWWII, s 3] detta bevis till Annairizi i Arabien (ca. 900 e.Kr.))

Bevis #16

Detta bevis tillskrivs Leonardo da Vinci (1452-1519) [Eves]. Quadrilaterals ABHI, JHBC, ADGC och EDGF är alla lika. (Detta följer av observationen att vinkeln ABH är 45 o. Detta beror på att ABC är rätvinklad, så mitt i kvadraten ACJI ligger på cirkeln som omger triangeln ABC. Uppenbarligen är vinkeln ABO 45 o.) Nu, area (ABHI)+area (JHBC) = area (ADGC)+area (EDGF). Varje summa innehåller två områden med trianglar som är lika med ABC (IJH eller BEF) och tar bort vilken som erhåller Pythagoras sats.

David King modifierar argumentet något

Sexkantarnas sidlängder är identiska. Vinklarna vid P (rät vinkel + vinkel mellan a & c) är identiska. Vinklarna vid Q (rät vinkel + vinkel mellan b & c) är identiska. Därför är alla fyra hexagoner identiska.

Bevis #17

Detta bevis förekommer i bok IV Matematisk samling av Pappus från Alexandria (ca 300 e.Kr.) [Eves, Pappor]. Det generaliserar Pythagoras sats på två sätt: triangeln ABC behöver inte vara rätvinklig och formerna som är byggda på dess sidor är godtyckliga parallellogram istället för rutor. Således bygger parallellogram CADE och CBFG på sidorna AC respektive BC. Låt DE och FG mötas i H och dra AL och BM parallellt och lika med HC. Sedan är area (ABML) = area (CADE)+area (CBFG). Med den stora transformationen som redan används i bevis #1 och #12 är area (CADE) = area (CAUH) = area (SLAR) och area (CBFG) = area (CBVH) = area (SMBR). Lägg bara till vad som är lika.

Bevis #18

Detta är en annan generalisering som inte kräver rät vinkel. Det beror på Th & acircbit ibn Qurra (836-901) [Eves]. Om vinklarna CAB, AC'B och AB'C är lika är trianglarna ABC, AC'B och AB'C lika. Således har vi och som omedelbart leder till den nödvändiga identiteten. Om vinkeln A är rätt minskar satsen till Pythagoras proposition och bevis #6.

Bevis #19

Detta bevis är en variant på #6. På den lilla sidan AB lägg till en rätvinklig triangel ABD liknande ABC. Sedan liknar DBC naturligtvis de andra två. Från AD = AB 2/AC och BD = AB & middotBC/AC härleder vi Dividing med AB/AC leder till

Bevis #20

Den här är en korsning mellan #7 och #19. Konstruera trianglar ABC ', BCA' och ACB 'liknande ABC, som i diagrammet. Genom konstruktion, Dessutom är trianglarna ABB 'och ABC' också lika. Således drar vi slutsatsen att Av trianglarnas likhet får vi som tidigare B'C = AC 2 /BC och BC '= AC & middotAB /BC. Att lägga ihop allt ger samma som

Bevis #21

Följande är ett utdrag ur ett brev från Dr.Scott Brodie från Mount Sinai School of Medicine, NY, som skickade mig ett par bevis på teoremet och dess generalisering till Cosinus lag:

Det första beviset förmedlar jag bara från den utmärkta diskussionen i Project Mathematics -serien, baserad på Ptolemaios teorem om fyrhörningar inskrivna i en cirkel: för sådana fyrhörningar är summan av produkterna av längderna på motsatta sidor, tagna i par lika med produkt av längden på de två diagonalerna. För en rektangel minskar detta omedelbart till en 2 + b 2 = c 2.

Bevis #22

Här är det andra beviset från Dr Scott Brodies brev.

Vi tar som känt en "punktens kraft" -satser: Om en punkt tas utåt till en cirkel och från punkten dras ett segment som tangerar cirkeln och ett annat segment (en sekant) dras som skär cirkeln i två distinkta punkter, så är kvadraten av tangentens längd lika med produkten av avståndet längs sekanten från den yttre punkten till den närmare skärningspunkten med cirkeln och avståndet längs sekanten till den längre skärningspunkten med cirkel.

Låt ABC vara en rätt triangel, med rätt vinkel vid C. Rita höjden från C till hypotenusen, låt P beteckna foten på denna höjd. Eftersom CPB är rätt ligger punkten P på cirkeln med diameter BC och eftersom CPA är rätt ligger punkten P på cirkeln med diametern AC. Därför sammanfaller skärningen mellan de två cirklarna på benen BC, CA i den ursprungliga högra triangeln med P, och ligger i synnerhet på AB. Beteckna med x och y längden på segmenten BP respektive PA, och som vanligt uthyrning a, b, c beteckna längden på sidorna av ABC mittemot vinklarna A, B, C. Sedan, x + y = c.

Eftersom vinkel C är rätt, tangenterar BC cirkeln med diametern CA, och effektsatsen säger att a 2 = xc på samma sätt tangerar AC cirkeln med diametern BC och b 2 = yc. Lägg till, vi hittar a 2 + b 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

Dr Brodie skapade också en Geometers SketchPad -fil för att illustrera detta bevis.

Bevis #23

Ett annat bevis är baserat på Heron's formel som jag redan använde i Proof #7 för att visa triangelområden. Detta är ett ganska invecklat sätt att bevisa Pythagoras sats som ändå reflekterar över satsens centralitet i planets geometri.

Bevis #24

[Swetz] tillskriver detta bevis till abu 'l'Hasan Th & acircbit ibn Qurra Marw & acircn al'Harrani (826-901). Det är det andra av bevisen från Th & acircbit ibn Qurra. Den första är i huvudsak #2 ovan.

Beviset liknar del 3 från bevis #12. ABC = FLC = FMC = SÄNG = AGH = FGE. Å ena sidan är arean med formen ABDFH lika med AC 2 + BC 2 + area (ABC + FMC + FLC). Å andra sidan, area (ABDFH) = AB 2 + area (BED + FGE + AGH).

Detta är en "utfälld" variant av ovanstående bevis. Två femkantiga områden - den röda och den blå - är uppenbarligen lika och lämnar samma område när tre lika trianglar tas bort från varje.

Beviset populariseras av Monty Phister, författare till det oändliga Gnarly Math CD-ROM.

Bevis #25

B.F.Yanney (1903, [Swetz]) gav ett bevis med hjälp av "glidargumentet" som också används i bevis #1 och #12. Successivt är områdena LMOA, LKCA och ACDE (vilket är AC 2) lika med områdena HMOB, HKCB och HKDF (vilket BC 2). BC = DF. Alltså AC 2 + BC 2 = area (LMOA) + area (HMOB) = area (ABHL) = AB 2.

Bevis #26

Detta bevis upptäckte jag på webbplatsen som underhålls av Bill Casselman där det presenteras av en Java -applet.

Med alla ovanstående bevis måste detta vara enkelt. Liknande trianglar som i bevis #6 eller #13.

Bevis #27

Samma bitar som i bevis #26 kan omarrangeras på ännu ett annat sätt.

Denna dissektion tillskrivs ofta den nederländska matematikern Frans van Schooten från 1600 -talet. [Frederickson, sid. 35] betraktar det som en gångjärnsvariant av ibn Qurra, se noten inom parentes efter bevis nr 2. Dr France Dacar från Slovenien har påpekat att samma diagram lätt förklaras med en tesselation i bevis #15. I själva verket kan det förklaras bättre av en annan tesselation. (Jag tackar Douglas Rogers för att han ställde upp det här för mig.)

Bevis #28

Melissa Running från MathForum har vänligen skickat en länk till A proof of the Pythagorean Theorem av Liu Hui (tredje århundradet e.Kr.). Sidan underhålls av Donald B. Wagner, expert på vetenskap och teknikhistoria i Kina. Diagrammet är en rekonstruktion från en skriftlig beskrivning av en algoritm av Liu Hui (300 -talet e.Kr.). För detaljer hänvisar du till originalsidan.

Bevis #29

Ett mekaniskt bevis på satsen förtjänar en egen sida.

Till detta bevis hör en sida "Extra-geometriska" bevis på Pythagoras sats av Scott Brodie

Bevis #30

Detta bevis hittade jag i R. Nelsens uppföljare Bevis utan ord II. (Det beror på Poo-sung Park och publicerades ursprungligen i Mathematics Magazine, Dec 1999). Börja med en av sidorna i en höger triangel, konstruera 4 kongruenta höger likbent trianglar med hypotenuser av efterföljande två vinkelräta och spetsar bort från den givna triangeln. Hypotenusen för den första av dessa trianglar (i rött i diagrammet) bör sammanfalla med en av sidorna.

De likbentade trianglarnas ändar bildar en kvadrat med sidan lika med hypotenusan i den givna triangeln. Hypotenuserna i dessa trianglar skär sidorna av torget vid deras mittpunkter. Så att det verkar finnas 4 par lika trianglar (ett av paren är grönt). En av trianglarna i paret är inuti rutan, den andra är utanför. Låt sidorna i den ursprungliga triangeln vara a, b, c (hypotenusa). Om den första likbent triangeln byggdes på sidan b, har varje område b 2 /4. Vi får

Här är en dynamisk illustration och ett annat diagram som visar hur man dissekerar två mindre rutor och ordnar om dem till den stora.

Bevis #31

Med rätt ABC, låt, som vanligt, beteckna längden på sidorna BC, AC och hypotenusens längd som a, b respektive c. Upprätt rutor på sidorna BC och AC som på diagrammet. Enligt SAS är trianglarna ABC och PCQ lika, så att Låt M vara mitten av hypotenusen. Beteckna skärningspunkten mellan MC och PQ som R. Låt oss visa det

Medianen till hypotenusen är lika med hälften av den senare. Därför är CMB likbent och Men vi har också Härifrån och det följer att vinkel CRP är rätt, eller

Med dessa förberedelser vänder vi oss till trianglarna MCP och MCQ. Vi utvärderar deras områden på två olika sätt:

På ena sidan är höjden från M till PC lika med AC/2 = b/2. Men också därför, å andra sidan, på samma sätt, och också

Vi kan sammanfatta de två identiteterna: eller

(Min tacksamhet går till Floor van Lamoen som uppmärksammade detta bevis. Det dök upp i Pythagoras - en nederländsk matematiktidning för skolbarn - i decembernummer 1998, i en artikel av Bruno Ernst. Beviset tillskrivs en amerikansk gymnasieelev från 1938 med namnet Ann Condit.)

Bevis #32

Låt ABC och DEF vara två kongruenta högra trianglar så att B ligger på DE och A, F, C, E är kollinära. ,,. Uppenbarligen beräkna området ADE på två olika sätt.

Area (ADE) = AB & middotDE /2 = c 2 /2 och även CE kan hittas från liknande trianglar BCE och DFE: Att sätta ihop saker vi får

(Detta bevis är en förenkling av ett av bevisen av Michelle Watkins, en student vid University of North Florida, som dök upp i Math Spectrum 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Douglas Rogers observerade att samma diagram kan behandlas annorlunda:

Bevis 32 kan städas upp lite längre, i linje med de senare bevisen som lagts till på senare tid, och på så sätt undvika liknande trianglar.

Naturligtvis är ADE en triangel på bas DE med höjd AB, så av area cc/2.

Men den kan dissekeras i triangeln FEB och den fyrkantiga ADBF. Den förstnämnda har bas FE och höjd BC, så område aa/2. Den senare består i sin tur av två trianglar rygg mot rygg på bas DF med kombinerade höjder AC, så område bb/2. En alternativ dissektion ser triangel ADE som består av triangel ADC och triangel CDE, som i sin tur består av två trianglar rygg mot rygg på bas BC, med kombinerade höjder EF.

De följande två bevisen har åtföljt följande meddelande från Shai Simonson, professor vid Stonehill College i Cambridge, MA:

Jag njöt av att titta igenom din webbplats och snubblade på den långa listan med Pyth Theorem Proofs.

I min kurs "The History of Mathematical Snedighet" använder jag två bevis som använder en inskriven cirkel i en rätt triangel. Varje bevis använder två diagram, och var och en är en annan geometrisk vy av ett enda algebraiskt bevis som jag upptäckte för många år sedan och publicerade i ett brev till matematikläraren.

De två geometriska bevisen kräver inga ord, men kräver lite eftertanke.

Bevis #33

Bevis #34

Bevis #35

Cracked Domino - ett bevis av Mario Pacek (aka Pakoslaw Gwizdalski) - kräver också lite eftertanke.

Beviset som skickades via e -post åtföljdes av följande meddelande:

Detta nya, extraordinära och extremt eleganta bevis på troligen det mest grundläggande teoremet i matematik (vinnare med avseende på antalet bevis 367?) ), eftersom det är direkt, innehåller inga formler och även förskolebarn kan få det. Förmodligen är det identiskt med det förlorade originalet - men vem kan bevisa det? Finns inte i Guinness rekordbok än!

Det sätt på vilket bitarna kombineras kan mycket väl vara original. Själva dissektionen är välkänd (se Proven 26 och 27) och beskrivs i Fredericksons bok, sid. 29. Det anmärks där att B. Brodie (1884) observerade att dissektionen så även gäller liknande rektanglar. Dissektionen är också en särskild förebild av överlagringsbeviset av K.O. Friedrichs.

Bevis #36

Detta bevis beror på J. E. B & oumlttcher och har citerats av Nelsen (Bevis utan ord II, sid. 6).

Jag tror att spricka detta bevis utan ord är en bra övning för geometri i mitten eller gymnasiet.

Bevis #37

En applet av David King som visar detta bevis har placerats på en separat sida.

Bevis #38

Detta bevis meddelades också till mig av David King. Kvadrater och 2 trianglar kombineras för att producera två hexagon med lika yta, som kan ha fastställts som i Proof #9. Båda hexagonerna tessellerar emellertid planet.

För varje hexagon i den vänstra tessellationen finns en hexagon i den högra tessellationen. Båda tessellationerna har samma gitterstruktur som demonstreras av en applet. Pythagorasatsen är bevisad efter att två trianglar har tagits bort från var och en av hexagonerna.

Bevis #39

(Av J. Barry Sutton, The Math Gazette, v 86, n 505, mars 2002, s72.)

Släpp in ABC, vinkel C = 90 o. Som vanligt, Definiera punkterna D och E på AB så att

Genom konstruktion ligger C på cirkeln med centrum A och radie b. Vinkel DCE böjer sin diameter och är därmed rätt: Av detta följer att Eftersom ACE är likbent,

Trianglar DBC och EBC delar DBC. Dessutom är därför trianglarna DBC och EBC lika. Vi har eller

a 2 = c 2 - b 2,
a 2 + b 2 = c 2.

Diagrammet påminner en om Th & acircbit ibn Qurras bevis. Men de två är ganska olika.

Bevis #40

Den här är av Michael Hardy från University of Toledo och publicerades i The Mathematical Intelligencer 1988. Den måste tas med en nypa salt.

Låt ABC vara en rätt triangel med hypotenus BC. Beteckna och sedan, när C rör sig längs linjen AC, ändras x och det gör också y. Antag att x ändrats med en liten mängd dx. Sedan ändrades y med en liten mängd dy. Triangeln CDE kan ungefär anses vara rätt. Förutsatt att det är det delar den en vinkel (D) med triangeln ABD och är därför lik den senare. Detta leder till andelen eller en (separerbar) differentialekvation

som efter integration ger y 2 - x 2 = konstant. Konstantens värde bestäms utifrån det ursprungliga villkoret för Eftersom för alla x.

Det är lätt att ta ett problem med detta bevis. Vad betyder det för en triangel att vara? Jag kan erbjuda följande förklaring. Trianglarna ABC och ABD har rätt konstruktion. Vi har, och även efter Pythagoras sats. När det gäller x och y visas satsen som

x 2 + a 2 = y 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

som efter subtraktion ger

För små dx och dy är dx 2 och dy 2 ännu mindre och kan försummas, vilket leder till ungefärliga

Tricket i Michaels vinjett är att hoppa över frågan om approximation. Men kan man verkligen motivera härledningen utan att i första hand förlita sig på Pythagoras sats? Oavsett tycker jag att det är mycket roligt att få den allestädes närvarande ekvationen placerad i det geometriska sammanhanget.

Bevis #41

Den här skickades till mig av Geoffrey Margrave från Lucent Technologies. Det ser väldigt mycket ut som #8, men kommer fram på ett annat sätt. Skapa tre skalade kopior av triangeln med sidorna a, b, c genom att multiplicera den med a, b och c i tur och ordning.Sammantaget bildar de tre liknande trianglarna sålunda erhållna en rektangel vars ovansida är, medan undersidan är c ​​2. (Vilket också visar att #8 kan ha avslutats på ett kortare sätt.)

Att välja bara två trianglar leder också till en variant av Proofs #6 och #19:

I denna form visas beviset i [Birkhoff, sid. 92].

Ännu en variant som kan relateras till #8 har skickats av James F .:

Den senare har en tvilling med a och b som byter sina roller.

Bevis #42

Beviset bygger på samma diagram som #33 [Pritchard, sid. 226-227].

Arean av en triangel är uppenbarligen rp, där r är cirkelns och triumferns semipermeter. Från diagrammet beräknas hypotesen eller Triangelns yta på två sätt:

(Beviset beror på Jack Oliver och publicerades ursprungligen i Matematisk tidning 81 (mars 1997), s 117-118.)

Bevis #43

Applicera Power of a Point -satsen på diagrammet ovan där sidan a fungerar som en tangent till en cirkel med radie b: Resultatet följer omedelbart.

(Konfigurationen här är i huvudsak densamma som i bevis #39. Åkallandet av Power of a Point -satsen kan betraktas som en genväg till argumentet i bevis #39.)

Bevis #44

Följande bevis relaterade till #39 har skickats av Adam Rose (23 september 2004.)

Börja med två identiska högra trianglar: ABC och AFE, A mittpunkten för BE och CF. Markera D på AB och G på förlängning av AF, så att

(Mer information finns i diagrammet ovan.) BCD är likbent. Därför, eftersom vinkel C är rätt,

Eftersom AFE är yttre än EFG, men EFG är också likbent. Således

Vi har nu två rader, CD och EG, korsade av CG med två alternativa inre vinklar, ACD och AGE, lika. Därför CD || EG. Trianglarna ACD och AGE är likartade och AD/AC = AE/AG:

och Pythagoras sats följer.

Bevis #45

Detta bevis beror på Douglas Rogers som kom på det under sin undersökning av den kinesiska matematikens historia. De två har också onlineversioner:

Beviset är en variant på #33, #34 och #42. Beviset fortsätter i två steg. Först, som det kan observeras från

där d är cirkelns diameter inskriven i en rätt triangel med sidorna a och b och hypotenus c. Baserat på det och omorganisering av bitarna på två sätt ger ytterligare ett bevis utan ord från Pythagoras sats:

Bevis #46

Detta bevis beror på Tao Tong (Mathematics Teacher, feb. 1994, Reader Reflections). Jag fick reda på det genom de goda tjänsterna från Douglas Rogers som också uppmärksammade bevis #47, #48 och #49. I ande liknar beviset bevis #32.

Låt ABC och BED vara lika högra trianglar, med E på AB. Vi kommer att utvärdera området ABD på två sätt:

Med hjälp av noteringarna som anges i diagrammet vi får kan vi hitta genom att notera likheten mellan trianglarna BFC och ABC:

De två formlerna går enkelt ihop till den pythagorska identiteten.

Bevis #47

Detta bevis som beror på en gymnasieelev John Kawamura rapporterades av Chris Davis, hans lärare i geometri vid Head-Rouce School, Oakland, CA (Mathematics Teacher, apr. 2005, s. 518.)

Konfigurationen är praktiskt taget identisk med den för Proof #46, men den här gången är vi intresserade av området fyrkantiga ABCD. Båda dess vinkelräta diagonaler har längd c, så att dess yta är lika med c 2 /2. Å andra sidan,

Multiplicering med 2 ger önskat resultat.

Bevis #48

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 8 (1915-1916), s. 268.)

I diagrammet är två högra trianglar - ABC och ADE - lika och E ligger på AB. Som i president Garfields bevis utvärderar vi området för en trapetsformad ABCD på två sätt:

där, liksom i bevis #47, är c ​​& middotc produkten av de två vinkelräta diagonalerna i den fyrkantiga AECD. Å andra sidan,

Genom att kombinera de två får vi c 2 /2 = a 2 /2 + b 2 /2, eller efter multiplikation med 2,

Bevis #49

I det tidigare beviset kan vi gå lite annorlunda. Fyll i en kvadrat på sidorna AB och AD av de två trianglarna. Dess yta är å ena sidan b 2 och å andra sidan

vilket motsvarar samma identitet som tidigare.

Douglas Rogers som observerade förhållandet mellan bevisen 46-49 påpekade också att en fyrkant kunde ha ritats på de mindre benen på de två trianglarna om den andra triangeln ritas i "botten" -läget som i bevis 46 och 47. I detta fall kommer vi igen att utvärdera arean på den fyrkantiga ABCD på två sätt. Med hänvisning till det andra av diagrammen ovan,

Han påpekade också att det är möjligt att tänka på en av de högra trianglarna som att glida från dess position i bevis #46 till dess position i bevis #48 så att dess korta ben glider längs det andra benets långa ben. Vid varje mellanliggande position finns en fyrkant med lika och vinkelräta diagonaler, så att det för alla positioner är möjligt att konstruera bevis som är analoga med ovanstående. Triangeln förblir alltid inuti en kvadrat på sidan b - längden på det långa benet på de två trianglarna. Nu kan vi också föreställa oss triangeln ABC -glida inuti den rutan. Vilket leder till ett bevis som direkt generaliserar #49 och innehåller konfigurationer av bevis 46-48. Se nedan.

Bevis #50

Arean på det stora torget KLMN är b 2. Torget är uppdelat i 4 trianglar och en fyrkant:

Det är inte en intressant härledning, men det visar att när man ställs inför en uppgift att förenkla algebraiska uttryck är det kanske inte den bästa strategin att multiplicera genom alla termer för att ta bort alla parenteser. I det här fallet finns det dock ännu en bättre strategi som helt undviker långa beräkningar. På Douglas Rogers förslag, slutför var och en av de fyra trianglarna till en lämplig rektangel:

De fyra rektanglarna skär alltid av en kvadrat med storlek a, så att deras totala yta är b 2 - a 2. Således kan vi avsluta beviset som i de andra bevisen i denna serie:

Bevis #51

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 7 (1913-1914), s. 168.)

Den här kommer med tillstånd av Douglas Rogers från hans omfattande samling. Precis som i bevis #2 roteras triangeln 90 o runt ett av dess hörn, så att vinkeln mellan hypotenuserna i två lägen är rätt. Den resulterande formen av område b 2 dissekeras sedan i två rätta trianglar med sidlängder och och områden c 2 /2 och

Bevis #52

Detta bevis, upptäckt av en gymnasieelever, Jamie deLemos (The Mathematics Teacher, 88 (1995), s. 79.), har citerats av Larry Hoehn (The Mathematics Teacher, 90 (1997), s. 438-441. )

Å ena sidan är trapezoidens yta lika

Att jämföra de två ger en 2 + b 2 = c 2.

Beviset är nära besläktat med president Garfields bevis.

Bevis #53

Larry Hoehn publicerade också följande bevis (The Mathematics Teacher, 88 (1995), s. 168.):

Förläng benet AC i den högra triangeln ABC till D så som i diagrammet. Vid D rita en vinkelrätt mot CD. Vid A rita en halverare av vinkeln BAD. Låt de två linjerna mötas i E. Slutligen, låt EF vara vinkelrätt mot CF.

Genom denna konstruktion delar trianglarna ABE och ADE sida AE, har andra två sidor lika: liksom vinklarna som bildas av dessa sidor: Därför är trianglarna ABE och ADE kongruenta av SAS. Härifrån har vinkel ABE rätt.

Det följer sedan att i höger trianglar ABC och BEF vinklar ABC och EBF lägga upp till 90 o. Således

De två trianglarna är lika, så att

Men, EF = CD, eller x = b + c, vilket i kombination med ovanstående andel ger

Å andra sidan, y = u + a, vilket leder till

som enkelt förenklas till c 2 = a 2 + b 2.

Bevis #54k

Senare (The Mathematics Teacher, 90 (1997), s. 438-441.) Larry Hoehn tittade ytterligare en gång på sitt bevis och tog fram en generisk, eller snarare en hel 1-parameterfamilj av bevis, som för olika värden av parametern, inkluderade hans äldre bevis samt #41. Nedan erbjuder jag en förenklad variant inspirerad av Larrys arbete.

För att återge den väsentliga bevispunkten #53, det vill säga ha en rätvinklig triangel ABE och en annan BEF, den senare liknar ABC, kan vi helt enkelt placera BEF med sidorna ka, kb, kc, för några k, som visas i diagrammet . För att diagrammet ska vara meningsfullt bör vi begränsa k så att (Detta säkerställer att D inte går under A.)

Nu kan rektangelns CDEF -area beräknas direkt som produkten av dess sidor ka och (kb + a), eller som summan av områdena för trianglarna BEF, ABE, ABC och ADE. Således får vi

som efter förenkling minskar till

vilket är bara ett steg mindre än Pythagoras förslag.

Beviset fungerar för alla värden av k som uppfyller kb/a. I synnerhet för vi får bevis #41. Vidare leder det till bevis nr 53. Naturligtvis skulle vi få samma resultat genom att representera området för trapetsformen AEFB på två sätt. För detta skulle leda till president Garfields bevis.

Uppenbarligen är hanteringen av en trapets mindre restriktiv och fungerar för varje positivt värde av k.


The Pythagorean Theorem: The Way of Truth - History


Institutionen för matematikutbildning
J. Wilson, EMT 669

Pythagoras sats

Pythagoras sats var en av de tidigaste satserna kända för antika civilisationer. Denna berömda sats är uppkallad efter den grekiska matematikern och filosofen, Pythagoras. Pythagoras grundade Pythagorean School of Mathematics i Cortona, en grekisk hamn i södra Italien. Han krediteras med många bidrag till matematik även om några av dem faktiskt kan ha varit hans elevers arbete.

Pythagoras sats är Pythagoras mest kända matematiska bidrag. Enligt legenden var Pythagoras så glad när han upptäckte satsen att han offrade oxar. Den senare upptäckten att kvadratroten av 2 är irrationell och därför inte kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal, mycket oroliga Pythagoras och hans anhängare. De var trogna i sin tro att två längder var integrerade multiplar av någon enhetslängd. Många försök gjordes för att undertrycka vetskapen om att kvadratroten av 2 är irrationell. Det sägs till och med att mannen som avslöjade hemligheten drunknade till havs.

Pythagoras sats är ett uttalande om trianglar som innehåller en rät vinkel. Pythagoras sats säger att:

& quot Arean på kvadraten byggd på hypotenusan i en rätt triangel är lika med summan av kvadraternas ytor på de återstående sidorna. & quot

Enligt Pythagoras sats är summan av ytorna på de två röda rutorna, kvadraterna A och B, lika med arean på den blå rutan, kvadrat C.

Således är Pythagoras sats algebraiskt sagt:

för en rätt triangel med sidor på längderna a, b och c, där c är längden på hypotenusen.

Även om Pythagoras tillskrivs den berömda satsen, är det troligt att babylonierna visste resultatet för vissa specifika trianglar minst ett årtusende tidigare än Pythagoras. Det är inte känt hur grekerna ursprungligen demonstrerade beviset för Pythagoras sats. Om metoderna i bok II i Euklids element användes, är det troligt att det var en dissektionstyp som liknar följande:

En stor kvadrat på sidan a+b är uppdelad i två mindre kvadrater på sidorna a respektive b, och två lika rektanglar med sidorna a och b var och en av dessa två rektanglar kan delas upp i två lika högra trianglar genom att rita diagonalen c. De fyra trianglarna kan ordnas inom en annan kvadrat på sidan a+b som visas i figurerna.

Torgets yta kan visas på två olika sätt:

1. Som summan av arean på de två rektanglarna och rutorna:


2. Som summan av ytorna på en kvadrat och de fyra trianglarna:

Nu är det att ställa in de två högra sidanuttrycken i dessa ekvationer lika


Därför är kvadraten på c lika med summan av rutorna på a och b. (Burton 1991)

Det finns många andra bevis på Pythagoras sats. Den ena kom från den samtida kinesiska civilisationen som finns i den äldsta kinesiska texten som innehåller formella matematiska teorier, Arithmetic Classic of the Gnoman och Circular Paths of Heaven.

Beviset för Pythagoras sats som inspirerades av en figur i den här boken ingick i boken Vijaganita (rotberäkningar) av den hinduiska matematikern Bhaskara. Bhaskaras enda förklaring till hans bevis var helt enkelt & quotBehold & quot.

Dessa bevis och den geometriska upptäckten kring Pythagoras sats ledde till ett av de tidigaste problemen i teorin om siffror som kallas Pythgorean -problemet.

Hitta alla rätt trianglar vars sidor är av integrerad längd, och därmed hitta alla lösningar i de positiva heltalen i den pythagoranska ekvationen:

De tre heltal (x, y, z) som tillfredsställer denna ekvation kallas en pytagoreisk trippel.


Formeln som kommer att generera alla Pythagoras tripplar dök först upp i bok X i Euklids element:


där n och m är positiva heltal av motsatt paritet och m & gtn.

I sin bok Arithmetica bekräftade Diophantus att han kunde få rätt trianglar med hjälp av denna formel även om han kom fram till det under ett annat resonemang.

Pythagoras sats kan introduceras för studenter under mellanstadietiden. Denna sats blir allt viktigare under gymnasietiden. Det räcker inte att bara ange den algebraiska formeln för Pythagoras sats. Eleverna måste också se de geometriska kopplingarna. Undervisning och inlärning av Pythagoras sats kan berikas och förbättras genom användning av prickpapper, geoboard, pappersvikning och datorteknik, liksom många andra instruktionsmaterial. Genom att använda manipulativ och andra utbildningsresurser kan Pythagoras sats betyda mycket mer för studenter än bara

och koppla nummer till formeln.

Följande är en mängd olika bevis på Pythagoras sats inklusive ett av Euclid. Dessa bevis, tillsammans med manipulativ och teknik, kan avsevärt förbättra elevernas förståelse av Pythagoras sats.

Följande är en sammanfattning av beviset av Euklid, en av de mest kända matematikerna. Detta bevis finns i bok I av Euklids element.

Proposition: I rätvinkliga trianglar är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på benen.

Euklid började med Pythagoras konfiguration som visas ovan i figur 2. Sedan konstruerade han en vinkelrät linje från C till segmentet DJ på torget på hypotenusan. Punkterna H och G är skärningspunkten mellan detta vinkelrätt med kvadratens sidor på hypotenusen. Den ligger längs höjden till den högra triangeln ABC. Se figur 3.

Därefter visade Euklid att arean för rektangel HBDG är lika med kvadratarean på BC och att areorna för rektangeln HAJG är lika med arean på kvadraten på AC. Han bevisade dessa likheter med begreppet likhet. Trianglarna ABC, AHC och CHB liknar varandra. Arean av rektangel HAJG är (HA) (AJ) och eftersom AJ = AB är området också (HA) (AB). Likheten mellan trianglarna ABC och AHC betyder

eller, för att bevisas, är arean på rektangeln HAJG densamma som kvadratens area på sidan AC. På samma sätt liknar trianglarna ABC och CHG. Så

Eftersom summan av ytorna i de två rektanglarna är kvadratens area på hypotenusen, kompletterar detta beviset.

Euklid var angelägen om att placera detta resultat i sitt arbete så snart som möjligt. Men eftersom hans arbete med likhet inte skulle vara förrän Böcker V och VI, var det nödvändigt för honom att komma med ett annat sätt att bevisa Pythagoras sats. Således använde han resultatet att parallellogram är dubbla trianglarna med samma bas och mellan samma paralleller. Rita CJ och BE.

Ytan på rektangeln AHGJ är dubbelt så stor som triangeln JAC, och arean på kvadratiska ACLE är dubbel triangel BAE. De två trianglarna är kongruenta av SAS. Samma resultat följer på liknande sätt för den andra rektangeln och kvadraten. (Katz, 1993)

Klicka här för en GSP -animation för att illustrera detta bevis.
De tre följande bevisen är lättare att se bevis på Pythagoras sats och skulle vara idealiska för matematikelever på gymnasiet. Faktum är att detta är bevis på att eleverna skulle kunna konstruera sig själva någon gång.
Det första beviset börjar med en rektangel uppdelad i tre trianglar, som var och en innehåller en rät vinkel. Detta bevis kan ses genom användning av datorteknik, eller med något så enkelt som ett 3x5 indexkort som skärs upp i rätt trianglar.

Det kan ses att trianglarna 2 (i grönt) och 1 (i rött), helt överlappar triangel 3 (i blått). Nu kan vi ge ett bevis på Pythagoras sats med samma trianglar.

I. Jämför trianglarna 1 och 3.

Vinklarna E respektive D är de rätta vinklarna i dessa trianglar. Genom att jämföra deras likheter har vi

och från figur 6, BC = AD. Så,

Genom korsmultiplikation får vi:

II. Jämför trianglar 2 och 3:

Genom att jämföra likheterna mellan trianglarna 2 och 3 får vi:

Från figur 4, AB = CD. Genom substitution,

Slutligen, genom att lägga till ekvationerna 1 och 2, får vi:

Vi har bevisat Pythagoras sats.

Nästa bevis är ett annat bevis på Pythagoras sats som börjar med en rektangel. Det börjar med att konstruera rektangel CADE med BA = DA. Därefter konstruerar vi vinkelhalvan av & ltBAD och låter den skär ED vid punkt F. Således är & ltBAF kongruent med & ltDAF, AF = AF och BA = DA. Så, med SAS, triangel BAF = triangel DAF. Eftersom & ltADF är en rätt vinkel, är & ltABF också en rätt vinkel.

Sedan m & ltEBF + m & ltABC + m & ltABF = 180 grader och m & ltABF = 90 grader är & ltEBF och & ltABC komplementära. Således m & ltEBF + m & ltABC = 90 grader. Det vet vi också
m & ltBAC + m & ltABC + m & ltACB = 180 grader. Eftersom m & ltACB = 90 grader, m & ltBAC + m & ltABC = 90 grader. Därför är m & ltEBF + m & ltABC = m & ltBAC + m & ltABC och m & ltBAC = m & ltEBF.

Med AA -likhetsteorem liknar triangel EBF triangel CAB.

Låt nu k vara likhetsförhållandet mellan trianglarna EBF och CAB.

Således har triangel EBF sidor med längderna ka, kb och kc. Eftersom FB = FD, FD = kc. Eftersom motsatta sidor av en rektangel också är kongruenta är b = ka + kc och c = a + kb. Genom att lösa för k har vi

och vi har slutfört beviset.

Nästa bevis på Pythagoras sats som kommer att presenteras är ett som börjar med en rätt triangel. I nästa figur är triangel ABC en höger triangel. Dess rätta vinkel är vinkel C.

Rita sedan CD vinkelrätt mot AB som visas i nästa figur.

Jämför trianglarna 1 och 3:

Triangel 1 (grön) är den rätta triangeln som vi började med innan vi konstruerade CD. Triangel 3 (röd) är en av de två trianglarna som bildas av konstruktionen av CD.


Figur 13
Triangel 1. Triangel 3.

Genom att jämföra dessa två trianglar kan vi se det

Jämför trianglarna 1 och 2:

Triangel 1 (grön) är samma som ovan. Triangel 2 (blå) är den andra triangeln som bildas genom att konstruera CD. Dess rätta vinkel är vinkel D.


Figur 14
Triangel 1. Triangel 2.

Genom att jämföra dessa två trianglar ser vi det

Genom att lägga till ekvationerna 3 och 4 får vi:

Från figurerna 11 och 12, med CD, har vi det (p + q) = c. Genom substitution får vi

Nästa bevis på Pythagoras sats som kommer att presenteras är ett där en trapets kommer att användas.

Genom den konstruktion som användes för att bilda denna trapets är alla 6 trianglarna i denna trapets rätta trianglar. Således,

Trapezoidområde = Summan av områdena i de 6 trianglarna

Och genom att använda respektive formler för område får vi:

Vi har slutfört beviset för Pythagoras sats med hjälp av trapets.


Nästa bevis på Pythagoras sats som jag kommer att presentera är ett som kan läras ut och bevisas med hjälp av pussel. Dessa pussel kan konstrueras med hjälp av Pythagoras konfiguration och sedan dissekera det i olika former.

Innan beviset presenteras är det viktigt att nästa siffra utforskas eftersom det direkt relaterar till beviset.

I denna Pythagorean -konfiguration har kvadraten på hypotenusen delats upp i 4 rätt trianglar och 1 kvadrat, MNPQ, i mitten. Eftersom MN = AN - AM = a - b. Varje sida av kvadratisk MNPQ har längden a - b. Detta ger följande:

Area of ​​Square på hypotenusan = Summan av områdena i de 4 trianglarna och Area of ​​Square MNPQ

Som nämnts ovan kan detta bevis på Pythagoras sats utforskas ytterligare och bevisas med hjälp av pussel som är gjorda från Pythagoras konfiguration. Eleverna kan göra dessa pussel och sedan använda bitarna från rutor på benen i den högra triangeln för att täcka rutan på hypotenusan. Detta kan vara en bra anslutning eftersom det är en & quothands-on & quot-aktivitet. Eleverna kan sedan använda pusslet för att bevisa Pythagoras sats på egen hand.


För att skapa detta pussel, kopiera rutan på BC två gånger, en gång placerad under rutan på AC och en gång till höger om torget på AC som visas i figur 17.

Triangel CDE är kongruent med triangel ACB för ben-ben.

I triangeln ACB har m & ltACB = 90 och sidorna har längderna a, b, c.

I triangeln CDE har m & ltCDE = 90 och sidorna har längderna a, b, c.

Triangel EGH är kongruent med triangel ACB för ben-ben. M & ltEGH = 90 och dess sidor har längderna a och c. Eftersom EF = b-a = AI, EG = b. Således är diagonalerna CE och EH båda lika med c.


PYTHAGORAS, IRRATIONAL NUMBER, AND PYTHAGORAS THEOREM

Pythagoras är en grekisk matematiker på samma gång som en filosof på 600 -talet. Han har mycket inflytande för vetenskapen, särskilt i matematik. En av hans berömda utelämnanden är Pythagoras sats som nästan människor någonsin har hört den. Pythagoras sats sa att hypotenusen i den högra triangeln är summan av kvadraten på 2: a andra sidan från den högra triangeln. På grund av hans utelämnanden i matematik kallade han också som “Fader till nummer ”.

En av eleverna som så kallade Hippasus sa att 𕔆 som är hypotenusa av likbent triangel som har längd varje fot är 1 är det irrationella talet. Men Hippasus mördades sedan eftersom Pythagoras inte kan argumentera för bevis som Hippasus tagit upp.

Hippasus är en elev av Pythagoras som kommer från Metapontum. Han var också en matematiker samtidigt gammal grekisk filosof om 600 -talet. Han ansågs vara uppfinnare av irrationellt tal, särskilt bevisa att kvadratroten av 2 𕔆 är irrationellt tal. Ironiskt nog orsakar uppfinningen exakt döden. Pythagoras hävdar att det finns ett irrationellt tal. Pythagoras och de andra eleverna antog att alla nmber är ett rationellt tal och det finns inget irrationellt tal. Hippasus bevisar denna sats genom att använda reductio ad absurdum (bevisa genom motsägelse) som bevisar tal att det är irrationellt tal. Pythagoras kan inte argumentera för detta påstående och anta att Hippasus är felaktig lärande följare så att han bestämde sig för att sluka Hippasus.

Irrationellt tal är ett reellt tal som inte kan divideras (resultatet har aldrig upphört). I det här fallet kan irrationellt tal inte uttryckas som a/b, med a och b som heltal, och b till skillnad från null. Så irrationellt tal är inte rationellt tal. Exemplet för irrationellt tal som π, 𕔆 och e -nummer. Phi -tal (π) som under den tid vi känner igen, faktiskt oprecis 3,14 men 3,1415926535897932 …. Också 𕔆 -nummer som om vi formulerar att bli 1.41421356237309504880 ….Och ett nummer som är 2.71828182 ….

Det irrationella talet kan bevisas med reductio ad absurdum eller på engelska kallat proof by contradiction. Det är ett logiskt argument som började med ett antagande, sedan från antagandet hittade det ett absurt resultat, ologiskt eller motsägelsefullt, så antagandets slutsats kommer att vara fel värdefull och förnekelsen blir korrekt värdefull. Ett matematiskt påstående någon gång bevisas genom reductio ad absurdum, det vill säga genom att anta förnekelsen (negationen) från påståendet som kommer att bevisas, sedan från antagandet försämrade en motsättning. När motsägelse kan nås logiskt, har antagandet bevisat fel, så att påståendet är korrekt.

Bevisad av motsägelse eller reductio ad absurdum är inte fel argument, men om det verkligen görs kommer det att vara giltigt argument. Om bevis genom motsägelse ger ett misstag, låg misstaget vid processens nedbrytning av motsägelse, inte i maj av beviset.

Det klassiska exemplet på bevisa genom motsägelse vid den antika grekiska eran bevisar att kvadratroten av två är irrationellt tal (kan inte uttryckas som jämförelse av heltal). Detta påstående kan bevisas genom att tvärtom anta att 2 är ett rationellt tal, så det kan uttryckas som jämförelse av heltal a/b i enklaste bråk. Men om a/b = 𕔆, så a2 = 2b2. Det betyder att a2 är jämnt tal. Eftersom kvadrat från udda tal inte är jämnt, då är a jämnt tal. Eftersom a/b är den enklaste fraktionen, är b säkert onormalt (eftersom bråkdelen av jämnt/jämnt tal fortfarande kan göras måttligt). Men eftersom a är jämnt tal (anta 2r = a, medelvärde a2 = 4r2) är viktal 4 och b2 är viktal 2 (jämnt). Detta medelvärde b är också jämnt tal, och detta är en motsägelse till slutsatsen före allt det b säkert avvikande. Eftersom antagandet tidigt att 2 är ett rationellt tal resulterar motsättningen, antagandet säkert fel och förnekandet (att 2 är irrationellt) är ett korrekt uttalande.

En av Pythagoras -utelämnanden som är mycket populär är Pythagoras sats. Satsen kallas som den antika grekiska matematikern och filosofen, han är Pythagoras. Pythagoras är inte uppfinnaren av satsen, men han är de första människorna som bevisade satsens sanning så han gav uppskattning med satsnamnet som hans namn.

Denna sats uttrycker att summera breda rutor vid foten en rätt trianglar lika breda kvadrater i hypotenuses. Höger triangel är triangel med en rät vinkel (90o0) foten är två sidor som fasar vinkelformade och hypotenusa är tredje sidan som handlar om den rätta vinkeln. Formeln för denna sats är a2+ b2 = c2, där a och b är sidorna i den högra triangeln, och c är hypotenusen.


Användbar applikation: Prova vilken form som helst

Vi använde trianglar i vårt diagram, den enklaste 2-D-formen. Men linjesegmentet kan tillhöra några form. Ta cirklar, till exempel:

Vad händer nu när vi lägger ihop dem?

Du gissade det: Radie cirkel 5 = Radie cirkel 4 + Radie cirkel 3.

Ganska vilt, va? Vi kan multiplicera Pythagoras sats med vår områdesfaktor (pi, i det här fallet) och komma med en relation för vilken form som helst.

Kom ihåg att linjesegmentet kan vara det någon del av formen. Vi kunde ha valt cirkelns radie, diameter eller omkrets-det skulle finnas en annan areafaktor, men 3-4-5-förhållandet skulle fortfarande hålla.

Så oavsett om du lägger till pizzor eller Richard Nixon -masker, hjälper Pythagoras sats dig att relatera områden med liknande former. Nu är det något de inte lärde dig i grundskolan.


Pythagoras sats gör konstruktion och GPS möjlig

OK, dags för en popquiz. Du har en rätvinklig triangel-det vill säga en där två av sidorna kommer ihop för att bilda en 90-graders vinkel. Du vet längden på de två sidorna. Hur räknar du ut längden på den återstående sidan?

Det är enkelt, förutsatt att du tog geometri i gymnasiet och känner till Pythagoras sats, ett matematiskt uttalande som är tusentals år gammalt.

Pythagoras sats säger att med en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på de två sidorna som bildar den rätta vinkeln lika med kvadraten på den tredje, längre sidan, som kallas hypotenusen. Som ett resultat kan du bestämma längden på hypotenusen med ekvationen a 2 + b 2 = c 2 , i vilken a och b representerar de två sidorna av den rätta vinkeln och c är långsidan.

Vem var Pythagoras?

Ett ganska snyggt trick, va? Men mannen som det här matematiska tricket är uppkallat efter är nästan lika fascinerande. Pythagoras, en gammal grekisk tänkare som föddes på ön Samos och levde från 570 till 490 f.v.t., var en slags trippy karaktär - lika delar filosof, matematiker och mystisk kultledare. Under sin livstid var Pythagoras inte lika känd för att lösa hypotenusens längd som för sin tro på reinkarnation och efterlevnad av en asketisk livsstil som betonade en strikt vegetarisk kost, efterlevnad av religiösa ritualer och massor av självdisciplin. som han lärde sina efterföljare.

Pythagoras biograf Christoph Riedweg beskriver honom som en lång, stilig och karismatisk figur, vars aura förstärktes av hans excentriska klädsel - en vit mantel, byxor och en gyllene krans på huvudet. Udda rykten virvlade runt honom - att han kunde utföra mirakel, att han hade ett gyllene konstgjord ben gömt under kläderna och att han hade kraften att vara på två ställen samtidigt.

Pythagoras grundade en skola nära det som nu är hamnstaden Crotone i södra Italien, som fick namnet Halvcirkeln i Pythagoras. Följare, som svurits till en sekretessregel, lärde sig att betrakta siffror på ett sätt som liknar den judiska mystiken i Kaballah. I Pythagoras filosofi hade varje nummer en gudomlig betydelse, och deras kombination avslöjade en större sanning.

Med ett hyperboliskt rykte som det är det inte konstigt att Pythagoras krediterades för att ha tagit fram en av de mest kända satserna genom tiderna, även om han faktiskt inte var den första som kom med konceptet. Kinesiska och babyloniska matematiker slog honom med ett årtusende.

"Vad vi har är bevis på att de kände till Pythagoras förhållande genom specifika exempel," skriver G. Donald Allen, matematikprofessor och chef för Center for Technology-Mediated Instruction in Mathematics vid Texas A & ampM University, i ett mejl. En hel babylonisk tablett hittades som visar olika trippeltal som uppfyller villkoret: a 2 + b 2 = c 2 . & quot

Hur är Pythagoras sats användbar idag?

Pythagoras sats är inte bara en spännande matematisk övning. Den används inom ett brett spektrum av områden, från konstruktion och tillverkning till navigering.

Som Allen förklarar, är en av de klassiska användningarna av Pythagoras satsning att lägga grunden till byggnader. & quot Du ser, för att skapa en rektangulär grund för, säg, ett tempel, måste du göra rät vinkel. Men hur kan du göra det? Genom att ögonkula det? Detta skulle inte fungera för en stor struktur. Men när du har längd och bredd kan du använda Pythagoras sats för att göra en exakt rätt vinkel till vilken precision som helst. & Quot

Utöver det har & quotThis sats och de som är relaterade till den gett oss hela vårt mätsystem, & quot Allen säger. & quotDet låter piloter navigera i blåsig himmel och fartyg sätta kursen. Alla GPS -mätningar är möjliga på grund av denna sats. & Quot

Inom navigering ger Pythagoras sats ett skepps navigator ett sätt att beräkna avståndet till en punkt i havet som är, säg 300 miles norr och 400 miles väster (480 kilometer norr och 640 kilometer väster). Det är också användbart för kartografer, som använder det för att beräkna branterna i kullar och berg.

"Denna sats är viktig i all geometri, inklusive solid geometri," fortsätter Allen. Det är också grundläggande inom andra grenar av matematik, mycket inom fysik, geologi, allt inom mekanisk och flygteknik. Snickare använder det och så även maskinister. När du har vinklar och du behöver mått behöver du denna sats. & Quot

En av de formativa erfarenheterna i Albert Einsteins liv var att skriva sitt eget matematiska bevis på Pythagoras sats vid 12 års ålder. Einsteins fascination för geometri spelade så småningom en roll i hans utveckling av teorierna om speciell och allmän relativitetsteori.


Titta på videon: Pythagoras in 2 minutes 2 (Augusti 2022).